Proposition :
Dans un anneau, \(0\) est absorbant pour \(\times\) : $$\forall a\in \mathcal A,\qquad a\times0=0\times a=0$$
Diviseur
Définition :
Soit \(\mathcal A\) un anneau
On dit que \(a\in\mathcal A\setminus\{0\}\) est un diviseur de \(0\) si et seulement si : $$\forall b\in\mathcal A\setminus\{0\},\qquad a\times b=0\quad\text{ ou }\quad b\times a=0$$
Règles de calcul dans un anneau
Formule du binôme de Newton
Dans un anneau, $${{a^n-b^n}}={{(a-b)\sum^n_{k=1}a^{n-k}b^{k-1} }}$$
Dans un anneau, $${{a^{2n+1}+b^{2n+1} }}={{(a+b)\sum^{2n+1}_{k=1}a^{2n+1-k}(-b)^{k-1} }}$$
Dans un anneau, $${{1-a^n}}={{(1-a)\sum^{n-1}_{k=0}a^k}}$$
Dans un groupe, si \(a\) est nilpotent (\(a^n=0\)), alors $$({{1-a}})^{-1}={{\sum^{n-1}_{k=0}a^k}}$$
(Matrice nilpotente)
Elément inversible
Caractérisation des éléments inversibles dans un anneau :
soit \(\mathcal A\) un anneau et \(a\in\mathcal A\)
\(a\mathcal A=\mathcal A\)
$$\Huge\iff$$
\(a\) est inversible
Admission d'un idéal maximal
Proposition :
Tout anneau non nul admet un idéal maximal (i.e. Tq le quotient \(R/I\) est un corps)
(Idéal (Idéal maximal))
Divisibilité dans un anneau
START
Théorème
Définition de la divisibilité dans un anneau
Hypothèses:
soit \((a,b)\in\mathcal A^2\)
l'une de ces conditions est satisfaite :
\(\exists c\in\mathcal A,\quad a=bc\)
\(a\in b\mathcal A\)
\(a\mathcal A\subset b\mathcal A\)
Résultats:
on dit que \(b\) divise \(a\) et on note \(b|a\)
Equivalence?: y
Résumé: Un élément d'un anneau divise un autre si et seulement si l'anneau multiplié par le premier contient l'anneau multiplié par le second.
END
Eléments associés
START
Théorème
Définition d'éléments associés dans un anneau
Hypothèses:
soit \((a,b)\in(\mathcal A\setminus\{0\})^2\)
l'une de ces trois conditions est satisfaite :
\(a|b\) et \(b|a\)
\(a\mathcal A=b\mathcal A\)
\(\exists u\in\mathcal A^\times,\quad b=au\)
Résultats:
on dit que \(a\) et \(b\) sont associés
Equivalence?: y
Résumé: Deux éléments d'un anneau sont associés ss'ils ont les mêmes propriétés multiplicatives dans l'anneau.
(mêmes diviseurs, anneau obtenu par multiplication identique, définis à un inversible près)
END
[!Example]
Dans \({\Bbb Z}\), deux éléments \(a,b\) sont associés si et seulement si \(\lvert a\rvert=\lvert b\rvert\)
Elément irréductible
Définition d'un élément irréductible dans un anneau :
soit \(a\in\mathcal A\setminus\{0\}\)
\(a\) n'est pas inversible
\(\exists (b,c)\in\mathcal A^2,\quad a=bc\) \(\implies\) l'un est inversible et l'autre est associé à \(a\)
$$\Huge\iff$$
on dit que \(a\) est irréductible dans \(\mathcal A\)
[!Example]
Dans \({\Bbb Z}\), un élément \(a\) est irréductible si et seulement si \(\lvert a\rvert\) est un nombre premier
Caractérisation
START
Théorème
Caractérisation des éléments irréductibles dans un anneau
Hypothèses:
soit \(\mathcal A\) un anneau et \(a\in\mathcal A\)
Equivalence?: y
Résumé:
END
Proposition :
Pour \(a\in A\) avec \(a\ne0\) et \(A\) intègre, on a : $${{(a)\text{ est premier } }}\implies{{ a\text{ est irréductible} }}$$
(\(\to\)Lemme d'Euclide)
PGCD
Définition du PGCD d'éléments d'un anneau :
soit \(\mathcal A\) un anneau principal
soient \((a_1,\dots,a_n)\in\mathcal A^n\)
$$\delta \mathcal A=\sum^n_{i=1}a_i\mathcal A$$ on a \(\forall d\in\mathcal A,\forall i\in[\![1,n]\!],\quad d|a_i\iff d|\delta\)
$$\Huge\iff$$
on appelle \(\delta\) le PGCD de \((a_1,\dots,a_n)\) et on le note : $$\delta=\operatorname{PGCD}(a_1,\dots,a_n)=\bigwedge^n_{i=1}a_i$$
Caractérisation du PGCD dans un anneau :
soit \((a_1,\dots,a_n)\in\mathcal A^n\)
\(\exists(a^\prime_i,\dots,a^\prime_n)\in\mathcal A^n,\forall i\in[\![1,n]\!],\) $$\quad\bigwedge^n_{i=1}a^\prime_i=1\quad\text{ et }\quad a_i=\delta a^\prime_i$$
$$\Huge\iff$$
$$\delta=\bigwedge^n_{i=1}a_i$$
Proposition :
Dans un anneau, il y a existence et unicité du \(\operatorname{pgcd}(a,b)\) pour \(a,b\ne0\)
PGCD d'irréductibles :
soient \((p,q)\in m\mathcal A\) deux irréductibles non associés
